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次元でおなじみのジャパネットたかた
[ 16] 次元とは！ 次元 - Wikipedia
【参考サイトURL】 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A1%E5%85%83
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次元（じげん、dimension）は、空間の広がりをあらわす一つの指標である。座標が導入された空間ではその自由度を変数の組のサイズとして表現することができることから、要素の数・自由度として捉えることができ、数学や計算機において要素の配列の長さを指して次元ということもある。自然科学においては、物理量の自由度として考えられる要素の度合いを言い、物理的単位の種類を記述するのに用いられる。
私たちの住む世界は共時的には3つの向きへの広がりをもった実3次元的な空間だととらえられる。また、時間は一方向的な実1次元的物理量だと考えられ、ニュートン力学では空間と時間は相互に独立な物理概念として取り扱われる。一方、相対性理論では光速を通じ時間の尺度と空間の尺度とは結びつけられ、符号(3, 1)の計量が入った実4次元の空間（ミンコフスキー空間）において現象が記述される。ただし、ミンコフスキー空間においても依然として時間軸は他の3つの空間軸とは性質の異なるものとしてとらえられることに注意しなければならない。
現代的な次元の概念は、古典的な図形の幾何学がユークリッド空間内の点集合論として一般化される19世紀末から20世紀初頭に掛けて、ポアンカレやブラウワーを萌芽としてメンガーやウリゾーンらの手によって可分な距離空間に対して定式化された。区別のために被覆次元と呼ばれるこの次元の概念はルベーグによれば「可分距離空間 X の任意の有限開被覆に対して高々次数 n + 1 の細分がとれるとき、X の次元は高々 n である」として述べられ、X が高々 n 次元かつ高々 n ? 1 次元でないとき X は n 次元であると定義される。たとえば被覆次元が 0 であるというのは、各点が開かつ閉なる近傍を持つことであると述べることができる。そして古典的な意味で次元 n であるユークリッド空間 Rn は被覆次元の意味でも n 次元になる。
自然科学では物理量を長さ、時間、質量といった基本量とそれ以外の組立量(誘導量)とに区別し、組立量を基本量の冪積の定数倍として表すとき、その基本量の指数の集まりとして次元が定義される。ここで言う定数は物理定数ではなく数学的な意味での定数であり無次元量と称される。例えば
考えている系の中で適切に基本量を決定すれば、一つの物理量に対して唯一通りの次元が定まる。一つの物理量に複数の単位が与えられているとき、それらは基準とする大きさのみを異にし、したがって適切な無次元量を係数として与えれば互いに取替えが可能である（そこで物理量の代わりに物理量の単位を使って次元式を考えることもある）。例えば長さの次元を持つ物理量の単位にはメートルやインチ等があるが、1 インチは 0.0254 メートルにほぼ等しい。
一方、見かけ上異なる物理量が同じ次元を持つならば、その物理的本質は同じである可能性が推測できる。例えば仕事とエネルギーはどちらも等しく次元式 ML2T?2で表される次元を持つので、仕事とエネルギーとは互いに他の変換されたものであると理解される。しかし、次元が同じでも本質が同じとは言えない量の組合わせも多くある。一例が仕事と力のモーメントで、どちらもML2T?2の次元を持つが同一視は困難である。特に無次元量には、比重、アスペクト比、レイノルズ数などほとんど無関係の量が多数あるが、次元は全て無で等しい。
また次元の決定には任意性があり、単位系により異なる場合がある。例えば電磁気学において、MKSA単位系のような4元単位系では時間、長さ、質量に電流を加えた4つを基本量として電流には独立な次元を与えている。だが、電磁単位系や静電単位系、ガウス単位系のような3元単位系では電流や電荷は組立量と見なされ、その次元は3つの基本量次元の組み合わせになる。
いくつかの系がことなる基本量によって記述されている場合に、ある法則や方程式などから見かけ上の次元がことなる等式が現れるならば、それは基本量と考えてきた量たちの間に変換則が成り立つことを示唆しており、またそのような変換則を仮説に立てることはそのような等式の存在を予言するものである。このようにして（未知の）物理量の次元を決定することを次元解析と呼ぶ。
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