ジャパネット たかた 連続
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連続でおなじみのジャパネットたかた
[ 43] 連続とは！ 連続 (数学) - Wikipedia
【参考サイトURL】 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
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数学において、連続（れんぞく、continuous）とは、いくら拡大しても近くにあって差が無いことを示す極限概念である。写像が連続性を持つことは、それが空間の位相的性質に関する準同型となることを意味する。
日常的な意味で連続と言うと、「切れずに繋がっている」という意味であり、古典的に関数のグラフを考えるときはそのような理解でよいのであるが、数学的には繋がっているということを表す概念は連結性であって、連続性とは厳密には異なる。
連続性は、各点の周りで考えられる概念である。一変数関数 f(x) がある点 x0 で連続であるとは、x が x0 に限りなく近づくならば、f(x) が f(x0) に限りなく近づくことを言う。
小さな正の数 ε が任意に与えられたとき、小さな正の数 δ をうまくとってやれば、x0 と δ 以内の距離にあるどんな x に対しても、f(x) は f(x0) の差が ε より小さいようにすることができる。
各点連続よりも強く、小さな正の数 ε が任意に与えられたとき、小さな正の数 δ をうまくとってやれば、δ 以内の距離にあるどんな二点 x, y に対しても、f(x) は f(y) の差が ε より小さいようにすることができるならば、f は一様連続であるという。つまり、I⊂R、f:I→R がI上一様連続とは、
一様連続より強く、f(x) と f(y) の差が x と y の差に比例する量で抑えられるとき f はリプシッツ連続 (Lipschitz continuous) であるという。つまり、f が I 上リプシッツ連続であるとは、f が次の条件を満たすことである:
ガウス記号 [x] によって実数から実数への関数 f(x) = [x] を定義しよう。この関数は、各整数の点において不連続である。この場合、関数のグラフにはギャップができる。ギャップのあるような不連続点を第一種不連続点という。これは正確には、a + 0, a - 0 の両側に極限が存在するが、両者の極限が等しくならないようなものである。これは不連続点の中では最も連続に近いものである。導関数は連続とは限らないが、第一種不連続点が現われることはない。
x が有理数なら1、無理数なら0を値とするような関数 d(x) をディリクレの関数と呼ぶ。これは R 上の全ての点で不連続である。単純だが極端な不連続関数の例として積分論などの議論で重宝される。
x が無理数なら f(x) = 0、有理数で x=p/q（p は整数、qは正の整数でこれらは互いに素）と表せるなら f(x) = 1/q として関数 f を定義すると、f は無理数では連続、有理数では不連続となる。
一般に、f を位相空間 X から位相空間 Y への写像とするとき、f が x ∈ X で連続であるとは、 f(x) ∈ Y のどんな近傍 V であっても、x の適当な近傍 Ux をとれば、その近傍の像 f(Ux) がV に含まれるようにできることをいう。
これは、Y の点 f(x) を含む任意の近傍の f による逆像がまた x の近傍であるとき、f は x において連続であるというと言い換えることができる。また、f が X 全体で連続であるということは、単にY の任意の開集合の逆像がまた X の開集合であるのと同じである。
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